fungsi komposisi matematika

Oleh:
Chatarina Anggri Ayu Y (XI IPS 3 / 07 )
Samantha Gracia Angel (XI IPS 3 / 28)

SKL
Menentukan fungsi komposisi



Fungsi Komposisi



Setelah menyaksikan

tayangan ini anda dapat



Menentukan:

• fungsi komposisi

• salah satu fungsi

jika fungsi komposisi

dan fungsi yang lain

diketahui



Fungsi

Suatu relasi dari A ke B

yang memasangkan

setiap anggota A ke

tepat satu anggota B

disebut fungsi atau pemetaan

dari A ke B



Notasi Fungsi

Suatu fungsi atau pemetaan

umumnya dinotasikan dengan

huruf kecil.

Misal, f adalah fungsi dari A ke B

ditulis f: A → B

A disebut domain

B disebut kodomain



Range atau Daerah Hasil

Jika f memetakan

x Î A ke y Î B

dikatakan y adalah peta dari x

ditulis f: x → y atau y = f(x).

Himpunan y Î B

yang merupakan peta dari x Î A

disebut range atau daerah hasil



contoh 1

Perhatikan gambar pemetaan

f : A → B





Perhatikan gambar pemetaan

f : A → B





contoh 2



Misal f: R → R

dengan f(x) = √1 - x2

Tentukan domain dari fungsi f.



Jawab

Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2

maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.

1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau

(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.

Jadi, domain fungsi tersebut

adalah -1 ≤ x ≤ 1.







contoh 3



Misal f: R → R

dengan f(x – 1) = x2 + 5x

Tentukan : a. f(x)

b. f(-3)



Jawab



Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x

maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)

f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5

f(y) = y2 + 7y + 6

f(y) = y2 + 7y + 6

a. f(x) = x2 + 7x + 6

b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6

= 9 – 21 + 6

= -6





Komposisi Fungsi

Penggabungan operasi dua fungsi

secara berurutan akan

menghasilkan sebuah fungsi baru.

Penggabungan tersebut disebut

komposisi fungsi dan hasilnya

disebut fungsi komposisi




x Î A dipetakan oleh f ke y Î B

ditulis f : x → y atau y = f(x)

y Î B dipetakan oleh g ke z Î C

ditulis g : y → z atau z = g(y)

atau z = g(f(x))

maka fungsi yang memetakan

x Î A ke z Î C

adalah komposisi fungsi f dan g

ditulis (g o f)(x) = g(f(x))







contoh 1



f : A → B dan g: B → C

didefinisikan seperti pada gambar

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)

Jawab:

(g o f)(a) = ?

f(a) = 1 dan g(1) = q

Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q



(g o f)(b) = ?

f(b) = 3 dan g(3) = p

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p





contoh 2



Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).

Jika f(x) = 2x + p dan

g(x) = 3x + 120

maka nilai p = … .

Jawab:

f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120

g(f(x)) = f(g(x))

g(2x+ p) = f(3x + 120)

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p

6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p

3p – p = 360 – 120

2p = 240 ® p = 120







Sifat Komposisi Fungsi

Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f

2. Bersifat assosiatif:

f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h

3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x

f o I = I o f = f











contoh 1

f : R → R dan g : R → R

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

Tentukan: a. (g o f)(x)

b. (f o g)(x)





Jawab:

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

(g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5

= 2(9x2 – 6x + 1) + 5

= 18x2 – 12x + 2 + 5

= 18x2 – 12x + 7





f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5

b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)

= 3(2x2 + 5) – 1

= 6x2 + 15 – 1

(f o g)(x) = 6x2 + 14

(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7

(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)

tidak bersifat komutatif



contoh 2

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan

h(x) = 1/x

Tentukan: a. (f o g) o h

b. f o (g o h)



Jawab:

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1

dan h(x) = 1/x

((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))

(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1

= x2 – 2

(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x)

= (1/x)2 – 2



contoh 3

I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1

Tentukan:

(f o I)(x) dan (g o I)
(I o f) dan (I o g)


Jawab:

I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1



(f o I)(x) = x2

(g o I)(x) = x + 1

(I o f)(x) = x2

(I o g)(x) = x + 1

(I o f)(x) = (f o I) = f



Menentukan

Suatu Fungsi

Jika Fungsi Komposisi

dan

Fungsi Yang Lain Diketahui





Contoh 1



Diketahui f(x) = 3x – 1

dan (f o g)(x) = x2 + 5

Tentukan g(x).

Jawab

f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5

f[g(x)] = x2 + 5

3.g(x) – 1 = x2 + 5

3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6

Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)



contoh 2



Diketahui g(x) = x + 9 dan

(f o g)(x) = ⅓x2 – 6

maka f(x) = … .



Jawab:

g(x) = x + 9

(f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6

f(x + 9) = ⅓x2 – 6

Misal: x + 9 = y ® x = y – 9

f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

= ⅓(y2 – 18y + 81) – 6

= ⅓y2 – 6y + 27 – 6

Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21



contoh 3



Diketahui f(x) = x – 3 dan

(g of)(x) = x2 + 6x + 9

maka g(x – 1) = … .



Jawab:

f(x) = x – 3;

(g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9

g(x – 3) = x2 + 6x + 9

Misal: x – 3 = y ® x = y + 3

g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9

= y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

= y2 + 12y + 36

g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36

= x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36

= x2 + 10x + 25

Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25





Contoh 4



Diketahui f(x) = 2x + 1

dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1

Nilai g(-2) =….



Jawaban:

f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1

f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1

f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1

2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1

2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1

g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1

= -1 – 2 – 1 = -4

Jadi g(2) = - 4